习题 22, § 1

(a) 设$\Gamma'$是加法群和$\Gamma$在域$k$上的格序加法群和$A$代数； $A$ 为整环（*代数*、章 II, § 11, no. 4、命题 8）。 $A$ 中的每个元素 $x \neq 0$ 可以唯一地写为

其中$v_i$不同于$\Gamma$的元素，$A$的典范基的$e^{v_i}$相应的元素超过$k$以及$a_i$元素 $\neq 0$ 共 $k$。将$\phi(x) = \inf(v_1, \ldots, v_n)$写入$\Gamma$；如果$x, y$和$x+y$在$A$中是$\neq 0$，则证明$\phi(x+y) \geq \inf(\phi(x), \phi(y))$；如果$xy \neq 0$在$A$中，则证明$\phi(xy) = \phi(x) + \phi(y)$。 （为了显示第二个断言，首先建立以下引理：给定$\Gamma$的元素的有限族$(\xi_j)$，在阶和$\inf(\xi_j) = 0$中，对于$\Gamma'$中的所有$\eta > 0$，存在充分必要指标$j$和元素$\zeta \in \Gamma$使得$0 < \zeta \leq \eta$和$\inf(\xi_j, \zeta) = 0$应用这个引理将其减少到$\phi(x) = \phi(y) = 0$的情况。）

(b) 由(a)推导出，如果$K$是$A$的分数的域，$\phi$可以从$K^*$扩展到$\Gamma$（也用$\phi$表示）扩展到同态，使得

如果$x, y$和$x+y$是$K$中的$\neq 0$。 Deduce that, if $B$ is the set of $x \in K$ such that $x = 0$ or $\phi(x) \geq 0$, $B$ is a domain whose field of fractions is $K$ and such that, if $U$ is the group of invertible elements of $B$, $K^*/U$ is isomorphic to $\Gamma$ (and in particular $B$ is a pseudo-Bezoutian domain). 导出一个非全积分闭伪贝祖特域的例，一个非伪本事的完全积分闭伪贝祖特域 (cf.

代数, 章 VI, § 1, 习题 31) \* 和一个非阶乘的伪主域。 \*

(c) 源自 (b) 整环的例，它是阶乘子域的右有向族的并，并且是完全积分闭的，但不是伪 Bezooutian。 （令$\theta$为$[0, 1]$中的无理数数，并且对于每个整数$j$，令$q_j$为最大的整数，使得$q_j / 2^j < 0$。对于所有$j$定义乘积群 $\mathbf{Q} \times \mathbf{Q}$ 一个格序群结构，通过将这个群的元素$\geq 0$的集合$(\mathscr{G}_j)_+$取为有序对$(\xi, \eta)$使得$\xi \geq 0$和$0 \leq \eta \leq (q_j 2^{-j}) \xi$*）。