习题 25, § 1

如果存在对 $A$ 满足属性 (AK$_{\text{II}}$) 和 (AK$_{\text{III}}$) 的域的分数的评估族 $(v_i)_{i \in I}$，则称积分闭域 $A$ 具有有限特征标。

(a) Show that, if $A$ is integrally closed and of finite character, for every element $x \neq 0$ in $A$, there can only be a finite number of extremal elements of the ordered group of principal divisors which are $\leq \operatorname{div}(x)$. (Let $J \subset I$ be the finite set of indices such that $v_i(x) > 0$. 如果$m$是$J$中元素的数，则证明不能是$m + 1$元素$y_j$（$1 \leq j \leq m + 1$）除以$x$，并且元素$\operatorname{div}(y_j)$是极值，注意到，对于所有 $j$，$\operatorname{div}(y_j)$ 必须与 $\sum_{k \neq j} \operatorname{div}(y_k)$ 素数。）

(b) 证明一个复变量 (章 V, § 1, 习题 12) 的积分函数的环是伪主域 (习题 21)，但不是有限特征标的域（使用 (a)）。 \*