习题 31, § 1

(a) 设$A$为正则积分闭域(习题30)，$K$为分数的域；对于每个多项式$P \in K[X]$，让$c(P)$表示除子$\operatorname{div}(a)$，其中$a$是由$P$的系数生成的$K$的分数理想。让$B$表示有理数函数$P/Q$的$K(X)$由……组成的子环，使得$c(P) \geq c(Q)$（证明这个条件仅取决于元素$P/Q$，利用习题30） (a) 和 12(c))。然后$B \cap K = A$。

(b) 证明 $B$ 是贝祖域 (习题 20)（观察，如果$P, Q$ 是 $A[X]$ 的两个多项式，$P + X^n Q$ 除 $P$ 和 $Q$ in $B$ if $m$ 是足够大）。

(c) 证明，如果 $A$ 是 Krull 域，则 $B$ 是主理想整环（考虑 $B$ 有限生成的分数主理想的递增序列）。给出例，其中 $A$ 完全积分闭，但 $B$ 不是主理想整环 (cf. 习题 22)。

(d) 从 (c) 诺特域 $B$ 的例推导出，其中存在分数的域子域 $K$，使得 $B \cap K$ 不是诺特。