习题 23, § 3

令$B$为Krull域，$E$其分数的域、$E$的$A$推导，使得$E$核的$\Delta(B) \subset B$、$K$子域 $A$ 和 $A$ 克鲁尔域 $B \cap K$；假设$K$具有特征$p > 0$；然后$E^p \subset K$和$B^p \subset A$，因此$B$是$E$中$A$的积分闭包，并且定义了典范同态$\tilde{i}: C(A) \to C(B)$（$§ 1$，no. 10）。让$U$表示$B$的可逆元中的群。

(a) 如果$b \in E$使得$\operatorname{div}_B(b)$是$D(A)$中除子的典范像，则表明$\Delta b/b \in B$（注，对于高度为1的$B$的每个素理想$\mathfrak{P}$，存在$b' \in K$使得$v_{\mathfrak{P}}(b) = v_{\mathfrak{P}}(b')$ 并观察$B_1$ 在 $A$ 下不变）。让$L$是$\Delta b/b$（“对数导数”）的$B$由……组成的加法子群，其中属于到$B$（对于$b \in E$或$b \in B$，其数量相同，并且$b \neq 0$），并令$L'$为$\Delta u/u$的$L$由……组成中的子群，其中$u \in U$。证明，对于每个除子 $d \in D(A)$，$d$ 的像是$D(B)$、类 mod 中的主除子。对于所有$b$，$\Delta b/b$的$L'$，使得$i(d) = \operatorname{div}_B(b)$仅依赖于$C(A)$中$d$的类，并导出$\operatorname{Ker}(\tilde{i})$的规范单同态$\dagger$ $L/L'$。

(b) 证明，如果$\Delta(B)$ 不包含在高度为1 的$B$ 和$[E: K] = p$ 的素理想中，则$\phi$ 是双射的。 （约化表明，如果$b \in E$使得$\Delta b/b \in B$和$\mathfrak{P}$是高度为1的$B$的素理想，使得$v_{\mathfrak{P}}(b)$不是$p$的倍数，则$e(\mathfrak{P}/p) = 1$，其中$p = \mathfrak{P} \cap A$；为此，从假设推出，如果$t$是$B_{\mathfrak{P}}$的均匀化器，则$\Delta t/t \in B_{\mathfrak{P}}$，因此$\mathfrak{P}B_{\mathfrak{P}}$在$A$下不变，并且$A$因此通过取商推导得到定义剩余类域 $k = B_{\mathfrak{P}}/\mathfrak{P}B_{\mathfrak{P}}$ 的$\overline{\Delta}$；证明$\overline{\Delta} \neq 0$ 并推导出$f(\mathfrak{P}/p) = p.$）

(c) 令$k$为特征2的域，$B$多项式环$k[X, Y, Z]$以及$E = k(X, Y, Z)$的$A$推导，使得$\Delta(X) = Y^4, \Delta(Y) = X^2, \Delta(Z) = XYZ$； $A$的域$K$核使得$[E : K] = 4$。然后$\Delta(Z)/Z \in B$，但证明$\operatorname{div}_B(Z)$不是$D(A)$中除子的典范像。 （通过反证法论证，假设$e(\mathfrak{P}/p) = 1$代表$\mathfrak{P} = BZ, p = \mathfrak{P} \cap A$；那么在$A$中将有一个$B$的均匀化器，必然是形式$a(X, Y, Z)Z$，其中$b = a(X, Y, 0) \neq 0$；推论出$\Delta b/b = -XY$并通过计算获得矛盾$A(-XY)$。）