习题 3, § 3

(a) 设$\mathbf{A} = \bigoplus_{n \geq 0} \mathbf{A}_n$为分级代数，且次数大于域$k$；假设 $\mathbf{A}_0 = k$ 和 $\mathbf{A}$ 是克鲁尔域。证明要使 $\mathbf{A}$ 成为阶乘，高度为 1 的 $\mathbf{A}$ 的每个分级素理想 $p$ 均为形式 $p = \mathbf{A}a$ 是充分必要的，其中 $a$ 是齐次元素（使用 § 1 的习题 16）。证明 $\mathbf{A}$ 的每个齐次元素 $\neq 0$ 都是齐次极值元素的乘积。

(b) 令 $A$ 为 (a) 的分级 $k$-代数满足条件。令$k'$为$k$的扩张，并假设$A \otimes_k k'$是阶乘域；证明 $A$ 是阶乘。 （如果$A$的分级理想$a$使得$a \otimes_k k'$在$A \otimes_k k'$中是主要的，则证明$a$是主要的；然后使用（a）。）