习题 5, § 3

(a) 设$k$为诺特阶乘域，$B$多项式环$k[X_1, \ldots, X_n]$，其中$n \geq 3$；令$g_i$ ($0 \leq i \leq r$) 为$k[X_3, \ldots, X_n]$ 的元素，其中$g_0$ 为极值。写$g = X_1 X_2 - \sum_{i=1}^r g_i X_1^i$，考虑商环$A = B/gB$。证明 $A$ 是阶乘。 （令$S$为$A$的乘法子集，由1和$X$的像生成，在$A$；no. 4到$S^{-1}A$的应用命题3。）

(b) 令$k$为特征$\neq 2$的域，$F$为$k[X_1, \ldots, X_n]$中第二个次数的齐次多项式，其中$n \geq 5$，使得$k^n$上的相应的多项式函数为非简并二次形式。证明域 $k[X_1, \ldots, X_n]/(F)$ 是阶乘。 （首先证明 $k[X_1, \ldots, X_n]$ 中第二个次数的齐次多项式 $G$，使得相应的多项式函数是非简并二次形式，对于 $n \geq 3$ 是极值。然后证明命题当$k$ 是代数封闭的，使用 (a)；最后借助习题 3 (b) 传递到一般情况。）

(c) 如果 $F = X_1 X_2 - X_3 X_4$，则表明域 $k[X_1, X_2, X_3, X_4]/(F)$ 不是阶乘。 （证明$X$中的像，其中环是极值元素。）