习题 7, § 3

设$K$为诺特阶乘域，$F$为多项式环$K[X_1, \ldots, X_n]$的极值元素；假设，当权 $q(i) > 0$ ($1 \leq i \leq n$) 归属于每个 $X_i$ 时，$F$ 是同量异位且属于权 $q > 0$。设$A$为$K(X_1, \ldots, X_n)$的分数域代数闭包$\Omega$中，由$K$、$X_i$($1 \leq i \leq n$)和根$z$生成的域多项式 $Z^c - F$，其中 $c$ 是整数与 $q$ 的素数。证明 $A$ 在以下两种情况下是阶乘： (1) $c \equiv 1 \pmod{q}$； (2) 每个有限生成的射影$K$模都是自由的（当$K$为域或主理想整环或局部环时，例成立）。 （在第一种情况下，考虑分数 $A[1/z]$ 的环；表明它是一个阶乘域，并且应用命题 3 为 4 号。在第二种情况下，考虑整数 $d$ 使得 $cd \equiv 1 \pmod{q}$ 并让 $z' \in \Omega$ 使得$z = {z'}^d$；由于第一种情况，域$B = A[z']$是阶乘，并且是一个自由的$A$模。将$B$视为分级环，其中$z'$为权$q$，每个$X_i$为权$cdq(i)$和约化至证明，对于$A$的两个齐次元素$u, v$理想$Au \cap Av$为主，§ 1的利用习题16为理想； $Bu \cap Bv$在$B$中并使用章I, § 3, no. 6，命题12。）特别是，如果$K$是域并且$a, b, c$是三个互质的整数$> 0$ 对，域名

是阶乘。