习题 9, § 3

(a) 令$A$为诺特域，使得对于$A$、$A_m$的每个最大理想$m$，都是离散估值环。如果$B$是形式幂级数$A[[X_1, \ldots, X_n]]$的环，则表明，对于$B$的每个最大理想$n$，域$B_n$是阶乘（考虑其完成，使用no. 9的命题8）。推断 $B$ 的每个除数理想都是射影 $B$ 模。

(b) 令$C$为诺特环，使得每个有限生成的射影$C$模都是自由的；表明形式幂级数 $C[[X]]$ 的环具有相同的性质 (cf. 章 II, § 3, no. 2, 命题 5)。

(c) 从(a)和(b)推导出，如果$A$是主理想整环，则形式幂级数$A[[X_1, \ldots, X_n]]$的域是阶乘。