习题 14, § 4

令$A$为普吕弗域（$§ 2$，习题12），$M, N$为有限秩$n$的向量空间$V$中的两个有限生成格，分数的域上$A$。对于$A$中的所有$c \neq 0$使得$cN \subset M$，考虑行列式理想$\delta_k(M/cN)$（习题10）并写出：

(a) 证明$\delta_k(N, M)$不依赖于$c$的选择使得$cN \subset M$；这些被称为$N$相对于$M$的决定性理想。 (b)$\delta_k(N, M) \subset \delta_{k+1}(N, M)$和$\delta_n(N, M) = A$。证明，如果我们写 $e_k(N, M) = \delta_{n-k}(N, M)(\delta_{n-k+1}(N, M))^{-1}$，则积分理想 $e_k(N, M)$ 使得 $e_k(N, M) \supset e_{k+1}(N, M)$ 对于 $1 \leq k \leq n$；有限生成的理想$e_k(N, M)$被称为$N$相对于$M$的不变量因子（考虑$A_m$模$M_m$和$N_m$对于$A$的每个最大理想$m$）。 (c) 如果$M$是$V$的格子，而$N$是秩$q < n$的$V$的子空间$W$中的格子，则$N$的不变量因子关于$M \cap W$ 被称为$N$相对于$M$的不变量因子。说明如何将代数、章 VII、$§ 4$ 的习题 8 延长至 10 和 14 至 16。