习题 11, § 2

如果 E 的每个元素 $x$ 都是左可取消的，则 E 被称为*左半群*。

(a) 如果$u$是幂等的（$§ 1$，no. 4），则$ux = x$对于所有$x \in E$（使用习题 9(a)）；对于 $Eu$ 引发的律，$u$ 是单位元素。

(b) 如果$u$和$v$是E的两个不同幂等，则$Eu \cap Ev = \varnothing$和集合、$Eu$和$Ev$（由E上的幂等推导出律）是同构的。

(c) 令 R 为集合 $Eu$ 的并的补集，其中 $u$ 贯穿 E 的幂等性集合。证明 $ER \subset R$；由此可见，R 是 E 的稳定子集。如果 R 非空，则对于所有 $a \in R$ $aR \neq R$（使用习题 9(a) 证明，在相反的情况下，R 将包含幂等）；特别是，R 是无限的。 R称为左半群E的*剩余类*。

(d) 如果 R 非空且 E 中至少存在一个幂等$u$（即$E \neq R$），对于所有$x \in REu, xEu \neq Eu$；特别是，$REu$中的元素在$Eu$中不可逆，并且$REu$是无限集合（使用习题8）。

(e) 如果 E 具有单位元素 $e$，则 $e$ 是 E 中唯一的幂等，并且 R 为空（注即 $E = Ee$）。

(f) 如果 E 中存在右可取消元素 $a$（特别是如果 E 上给定的律是可交换的），则 E 具有单位元素或 $E = R$（注，如果存在幂等 $u$，则对于所有的$xa = xua$） $x \in E$）。对于例，如果E是整数$\geq 1$的集合，且加法，E是交换半群使得$E = R$。

(g) 如果存在$a \in E$使得$\delta_a$是满射，则E有单位元素或$E = R$（对于幂等$u$，分别检查$a \in R$的情况和$a \in Eu$的情况）。