习题 13, § 4

设$G$为群。如果$S$是一个简单的群，如果存在$G$的两个子群$H, H'$且$H$是$H'$的正常子群，使得$H'/H$同构的，则称$S$出现在$G$中到$S$。让$\operatorname{in}(G)$表示$G$中发生的简单群的同构类的集合。 (a) 证明$\operatorname{in}(G) = \varnothing \Leftrightarrow G = \{e\}$。 (b) 如果$H$是$G$中的子群，则证明$\operatorname{in}(H) \subset \operatorname{in}(G)$；另外如果$H$是正常的，那么

(c) 令$G_1$和$G_2$为两个群。显示以下两个属性的等价： (i) $\operatorname{in}(G_1) \cap \operatorname{in}(G_2) = \varnothing$； (ii) $G_1 \times G_2$ 中的每个子群都是形式 $H_1 \times H_2$，其中$H_1 \subset G_1$ 和$H_2 \subset G_2$。 （使用习题8。） 当$G_1$和$G_2$为有限群时，证明(i)和(ii)等价于： (iii) Card($G_1$) 和 Card($G_2$) 互质。