习题 5, § 5

设G为群。 (a) 如果H是有限指标n的G的子群，则证明H的共轭的交N是n的指标除子！ （注$G/N$同构于$\mathfrak{S}_n$的子群）。 (b) G 被称为残差有限，如果有限指标的子群的交是$\{e\}$。 Show that this is equivalent to saying that G is isomorphic to a subgroup of a product of finite groups.

(c) 假设G可以由有限的集合生成。表明，对于每个整数 n，指标 n 的 G 子群集合 P_n 是有限的。

(d) 在(c)的假设下，考虑G的自同态 f，它是满射的。证明，对于每个整数 n，映射 H $\mapsto f^{-1}(H)$ 是 P_n 的双射到其自身上（观察它是单射）。推论f的核包含在有限指标的G的每个子群中。特别是，如果 G 是残差有限的，则 f 是双射的。