习题 32, § 6

设$p$为素数数，G为$p$群。 令 $G^* = G^p D(G)$ 为由 D(G) 和 $x^p, x \in G$ 生成的 G 的子群。 (a) 证明$G^*$是G的同态核到$\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$的交。 (b) 证明 G 生成 G 的子集 S 当且仅当 S 的像在 $G/G^*$ 生成 $G/G^*$ 中。 推出，如果$(G:G^*) = p^n$，整数$n$是G的子集中元素的最小值数，其中生成G；特别地，G 是循环的当且仅当$n \leqslant 1$。 (c) 令$u$为阶的G的自同构与$p$素数，并令$\bar{u}$为$G/G^*$的相应的自同构。 证明$\bar{u} = 1$蕴涵$u = 1$。