习题 39, § 6

设G是G和$r = \mathrm{Card}(X)$的Sylow $p$子群的有限群、$n = \mathrm{Card}(G)$、$p$素数数、X集合。然后 G 通过共轭在 X 上进行传递运算；设 $\phi : G \to \mathfrak{S}_X \approx \mathfrak{S}_r$ 为相应的同态（A $\approx$ B 表示关系“A 与 B 同构的”），K 为核。

(a) 证明 K 是 $P \in X$ 归一化子的交，并且 K 的 Sylow $p$ 子群是 $P \in X$ 的交。推论如果 K 除 $n/rp$ 中有 $r > 1$ 阶 $k$。

(b) 证明如果 G 没有子群或指标 2，则有 $\phi(G) \subset \mathfrak{A}_X$，如果有 $n = kr!$（或$\frac{1}{2}kr!$），则有$\phi(G) = \mathfrak{S}_X$（或$\mathfrak{A}_X$）。

(c) 利用(a)、(b)和前面的习题，证明以下事实： 如果 $n = 12$ 和 G 的 Sylow 3 子群不是正规的，则 $G \approx \mathfrak{A}_4$。 如果$n = 24$且G没有性质（ST），则$G \approx \mathfrak{S}_4$。 如果$n = 36$，则 G 有性质 (ST)。 （证明如果 G 的 Sylow 3 子群不是正规子群，则阶 3 的 G 包含子群 K 使得 $G/K \approx \mathfrak{A}_4$ 且 K 是中心。） 如果 $n = 48$ 并且 G 没有性质 (ST)，则 G 包含是阶 2 的正常子群 K，使得 $G/K \approx \mathfrak{S}_4$。 如果 $n = 60$ 且 G 没有性质 (ST)，则 $G \approx \mathfrak{A}_5$。 （证明这样的群 G 没有阶 5 的正规子群，也没有阶 2 的正规阶 2，也没有指标 2。推论G 与$\mathfrak{S}_6$ 的子群同构，并且如习题 25 中那样论证§ 5，即 $G \approx \mathfrak{A}_5$。）

如果 $n = 72$ 和 $G$ 的 Sylow 3 子群不是正规的，则 $G$ 包含是正规的子群 $K$，使得 $G/K$ 同构于 $\mathfrak{S}_4$ 或$\mathfrak{A}_4$。

如果 $n = 96$ 和 $G$ 的 Sylow 2 子群不是正规的，则 $G$ 包含是正规的子群 $K$，使得 $G/K \approx \mathfrak{S}_3$。

(d) 证明阶$\leq 100$的群$G$是可解的除非$G \approx \mathfrak{A}_5$。