习题 40, § 6

令$G_1, G_2$为$G_1 \times G_2$的两个群和$G$子群，使得$\mathrm{pr}_1 G = G_1, \mathrm{pr}_2 G = G_2$；将$G_1$和$G_2$分别与$G_1 \times \{e_2\}$和$\{e_1\} \times G_2$识别，$H_1 = G \cap G_1$和$H_2 = G \cap G_2$是$G$的正规子群，使得$G/H_1$同构于$G_2$和$G/H_2$同构的$G_1$。

(a) 证明$G$在$G_1 \times G_2$中正常，$G$ 包含换位子群 $D(G_1 \times G_2) = D(G_1) \times D(G_2)$是充分必要的（通过写来证明$G$ 包含 $D(G_1)$） $xzx^{-1}z^{-1} \in G$适用于$x \in G_1$和$z \in G$）。推断 $G_1/H_1$ 是可交换的。

(b) 如果 $G$ 在 $G_1 \times G_2$ 中是正规的，则通过与每个有序对 $(s_1, s_2)$ $s_1 t_1^{-1}$ 模 $H_1$ 的陪集相关联，证明同态是由 $G_1 \times G_2$ 定义到 $G_1/H_1$ 上的，其中$t_1 \in G_1$ 使得$(t_1, s_2) \in G$。推断$(G_1 \times G_2)/G$与$G/(H_1 \times H_2)$同构的。