习题 14, § 7

如果群$G$拥有一个基本族，则它被称为“自由”，因此与构建在集合$X$上的自由群$F(X)$同构的。 (a) 证明，如果$(t_i)_{i \in I}$和$(t'_j)_{j \in J}$是两个这样的族，则$\mathrm{Card}(I) = \mathrm{Card}(J)$。 （当$\mathrm{Card}(I)$无穷大时，证明$\mathrm{Card}(J)$也是，并且都等于$\mathrm{Card}(G)$。当$\mathrm{Card}(I)$是整数$d$时，证明$G$中指标2的子群的数是$2^d - 1$。） $G$基本族的基数称为$G$的*秩*。 (b) 自由群的值为秩 0（分别为 1）当且仅当它约化到 $\{e\}$（分别与 $\mathbf{Z}$ 同构的）。 (c) 设$G$为有限秩$d$的自由群和$G$的$d$元素的$(x_1, \ldots, x_d)$生成的族。表明这个家庭是基本的。 （使用习题 34 和 § 5、习题 5。） (d) 证明对于每个红衣主教 $d \leq \aleph_0$，有秩 $\geq 2$ 包含的免费群和给定的秩 $d$ 的免费子群。 （使用习题22。）