习题 18, § 7

设 S 是群 G 的对称子集。 如果 $g_2^{-1}g_1$ 属于到 S，则 G 的两个元素 $g_1, g_2$ 称为 S 邻居。 如果$g_i$和$g_{i+1}$是$1 \leq i \leq n-1$的S邻居，则G的元素的序列$(g_1, \ldots, g_n)$称为S链； 元素 $g_1$ 和 $g_n$ 分别称为链的起点和终点。

(a) 令Y为G的子集和$R_Y \{a, b\}$关系“Y中存在一条从a开始到b结束的S链”。证明 $R_Y$ 是 Y 上的等价关系（cf. 集合理论，II, § 6，习题 10）；在这个关系下的等价类称为Y的连通S-分量。如果Y至多有一个连通分量，则称为S-连通。

(b) 证明 G 是 S 连通的当且仅当 S 生成 G。

(c) 假设没有元素$s \in S$满足关系$s^2 = e$； S 的选择子集 X，使得 S 是 X 和 $X^{-1}$ 的不相交的并。显示以下条件中的等价： (i) 家庭X 是免费的。 (ii) 数中不同的元素 $n \geq 3$ 的 G 由……组成中不存在 S 链$(g_1, \ldots, g_n)$，使得 $g_1$ 和 $g_n$ 是 S 邻居。 （使用习题13。）