习题 19, § 7

令X为集合，$G = F(X)$在X和$S = X \cup X^{-1}$上构造的自由群。

(a) 如果$g \in G$，S 的元素的每个序列$(s_1, \ldots, s_n)$，使得$1 \leq i < n$的$g = s_1 \ldots s_n$和$s_i s_{i+1} \neq e$被称为g的*约化分解*。证明G的每一个元素都承认一个且只有一个约化的分解； 整数 n 是 g (cf. 习题 26) 的 长度。

(b) 设 Y 为 G 包含 e 的子集。显示以下条件中的等价： $(b_1)$ Y 是 S 连接的 (cf. 习题 18)。 $(b_2)$ 对于所有 $g \in Y$，如果 $(s_1, \ldots, s_n)$ 是 g 的约分解，则 $s_1 \ldots s_i \in Y$ 对应于 $1 \leq i \leq n$。 (c) 令$Y_1$和$Y_2$为G的两个非空S连通子集，使得$Y_1 \cap Y_2 = \varnothing$。证明最多存在一个有序对

这样 $y_1$ 和 $y_2$ 是 S 邻居。当且仅当 $Y_1 \cup Y_2$ 是 S 连通时，存在一个； $Y_1$ 和 $Y_2$ 被称为“邻居”。

(d) 令$Y_1, \ldots, Y_n$为G的不相交的非空S连通子集的序列。假设$Y_i$和$Y_{i+1}$是$1 \leq i < n$的邻居。证明，如果 $n \geq 3$、$Y_1$ 和 $Y_n$ 不是邻居。