习题 29, § 7

令$G = G_1 *_A G_2$为两个群$G_1$和$G_2$由子群$A$合并而成的和。

(a) 证明如果 $G_1$ 和 $G_2$ 是有限生成的，则 $G$ 是有限生成的。

(b) 假设 $G_1$ 和 $G_2$ 是有限呈现的。显示以下两个属性的等价： (1) $G$ 是有限呈现的。 (2) $A$ 是有限生成的。

（首先表明 (1) 蕴涵 (2)。另一方面，如果 $A$ 不是有限生成的，则存在 $A$ 的子群的右有向族 $(A_i)_{i \in I}$，其中对于所有 $i$ 具有 $\bigcup_{i \in I} A_i = A$ 和 $A_i \neq A$。令 $H_i$（分别为 $H$）为将$G_1 * G_2$的典范同态的核放到$G_1 *_{A_i} G_2$上（分别放到$G$上）。证明$H$是$H_i$的并，并且$H_i \neq H$适用于所有$i$； 习题 16(d).)

(c) 推导有限生成的群的例，该群不是有限呈现的。 （取$G_1$和$G_2$免费秩2的群和$A$免费群有限秩，cf.习题22。）