习题 32, § 7

设A和B是两个群和$G = A * B$他们的自由乘积。令X为换位子$(a, b)$与$a \in A - \{e\}$、$b \in B - \{e\}$及$S = X \cup X^{-1}$的集合。

(a) 证明$X \cap X^{-1} = \varnothing$，并且如果$x$是X的元素，则$(A - \{e\}) \times (B - \{e\})$中存在唯一的有序对$a, b$，使得$(a, b) = x$。

(b) 设$n \geq 1$且$s_1, \ldots, s_n$为S的元素中的序列，使得$s_i s_{i+1} \neq e$对应于$1 \leq i < n$；令 $a_n \in A - \{e\}, b_n \in B - \{e\}, \varepsilon(n) = \pm 1$ 使得$s_n = (a_n, b_n)^{\varepsilon(n)}$。让$g = s_1 \ldots s_n$。显示，通过 $n$ 上的归纳，$g$ 的缩减分解为长度 $\geq n + 3$，并且如果$\varepsilon(n) = 1$ 则以$a_n b_n$ 终止，如果$\varepsilon(n) = -1$ 以$b_n a_n$ 终止。

(c) 令 R 为规范投影 $A * B \to A \times B$ 相应的 (no. 3) 到典范嵌入 $A \to A \times B$ 和$B \to A \times B$ 的核。证明 R 是一个自由群且具有基本族 X。 （用（b）证明X是自由的；如果$R_X$是X生成的G的子群，则证明$R_X$是正规的；用R推导它重合。）