习题 15, § 10

设$A$为环；对于每个整数 $n \geqslant 1$，$A^n$ 都被规范地标识为 $A^{(\mathbf{N})}$ 由……组成元素的子模，其指标 $\geqslant n$ 的坐标为 0，$A'_n$ 表示互补的子模元素的由……组成，指标$< n$的坐标为0。每个自同态$u \in \mathbf{GL}_n(A)$都被$A^{(\mathbf{N})}$的自同构识别，其限制到$A^n$为$u$， 限制到$A'_n$是恒等式，因此$\mathbf{GL}_n(A)$与$\mathbf{GL}(A^{(\mathbf{N})})$的子群进行标识；令$F$表示$\mathbf{GL}_n(A)$的$\mathbf{GL}(A^{(\mathbf{N})})$并子群，在其他字子群留下不变量$A^{(\mathbf{N})}$的典范基元素除了有限其中数（cf.习题12）。

令$T_n$为$0 \leq i < n, 0 \leq j < n, i \neq j, \lambda \in A$(no. 13)的$B_{ij}(\lambda)$生成的$\mathbf{GL}_n(A)$的子群，并令$T$为$T_n$的$F$并的子群。

(a) 证明 $n \geq 3, T_n$ 等于其换位子群。 (b) 令 $a, b$ 为 $A$ 的两个*可逆* 元素。表明

其中 $P, Q, P', Q'$ 属于至 $T_2$。推断矩阵 $\begin{pmatrix} aba^{-1}b^{-1} & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 属于至 $T_2$。

(c) 由(b)推导出$\mathbf{GL}_n(A)$的换位子群包含在$T_{2n}$中((b)中替换$A$被$\mathbf{M}_n(A)$包含于)。 结论（使用（a））$F$的换位子群等于$T$。