习题 13, § 2

(a) 令 A 为环和 I 一个单射A-模 (习题 11)，使得对于每个非零单调 A-模 E，存在 E 到 I 的非零 A 同态。设M为A-模，M的N子模和$u \in \operatorname{Hom}_A(M, I)$的$\tilde{N}$集合，使得$u(x) = 0$在N中。证明对于所有$y \notin N$，存在一个$u \in \tilde{N}$使得$u(y) \neq 0$。

(b) 设$A$为环。对于每个$(A, A)$-双模块$T$和每个左（或右）$A$-模块$M$，$\mathrm{Hom}_A(M, T)$规范地具有从$T$上派生的右（或左）$A$-模块结构，并且有一个规范$A$-同态$c_{M, T}: M \to \mathrm{Hom}_A(\mathrm{Hom}_A(M, T), T)$，使得$c_{M, T}(x)$是$A$-同态$u \mapsto u(x)$。证明如果 $I$ 是一个 $(A, A)$ 双模，作为左 $A$-模，满足 $(a)$ 的条件，则典范同态 $c_{M, I}$ 对于每个左 $A$-模 $M$ 都是单射的。

(c) 假设$I$是一个$(A, A)$双模，它是左$A$-模和右$A$-模的内射，并且对于每个（左或右）单生$A$-模$E \neq 0$，存在一个非零$A$同态$E$ 变为$I$。证明在这些条件下，如果$P$是左（或右）射影$A$模，$\mathrm{Hom}_A(P, I)$是右（或左）单射$A$模。 （假设$P$是左射影$A$模。观察到对于右$A$模$N$的每个子模$N'$，$\mathrm{Hom}_A(N', I)$同构于$\mathrm{Hom}_A(N, I)$的商模并应用$(b)$向右模$N$和左模$P$。）

(d) 设$C$为交换环，$A$为$C$代数，$I$为单射$C$模，使得对于每个单生$C$模$E \neq \{0\}$，存在非零$C$同态$E$ 变成$I$。对于每个$A$-模块$M$，$\mathrm{Hom}_C(M, I)$是一个$A$-模块；证明对于每个射影$A$-模块$P$，$\mathrm{Hom}_C(P, I)$是一个单射$A$-模块（与$(c)$中的参数相同）。