习题 4, § 6

令 $(F_\alpha, f_{\beta\alpha})$ 为 A-模中的直接系统。 (a) 对于每个 A-模 E，定义一个规范的 $\mathbf{Z}$-模块同态

(b) 证明如果 E 是有限生成的，则 $\varepsilon$ 是单射的。给出例，其中 $\varepsilon$ 不是单射（cf. 习题 3，取 $E = \lim \rightarrow F_\alpha$）。

(c) 证明如果 E 是有限生成的并且 $f_{\beta \alpha}$ 是单射的，$\varepsilon$ 是满射的。给出例，其中 $E = \lim_{\longrightarrow} F_\alpha$ 是自由的，$f_{\beta \alpha}$ 是单射的，$\varepsilon$ 不是满射的。

(d) 证明如果 E 是射影且有限生成的，则 $\varepsilon$ 是双射的。

(e) 设 A 为整环和 $a$，A 的理想值不是有限生成的。如果 $(a_\alpha)$ 是$a$ 中包含的有限生成理想族，则证明 $E = A/a$ 与 $F_\alpha = A/a_\alpha$ 的直极限规范同构，但同态 $\varepsilon$ 不是满射的。