习题 11, § 11

令$\Phi = 0$为阶$n$的可逆平方矩阵$X$在交换环$A$上的未成年人之间的恒等式，$\tilde{\Phi} = 0$互补恒等式（习题10）和$k$ 整数$> 0$。令$Y$为阶$n + k$的可逆平方矩阵，令$\tilde{Y}_0$为通过抑制$\tilde{Y}$中指标的行而形成的伴随矩阵$\tilde{Y}$的子矩阵$\leq k$ 和列指标 $\leq k$。如果假设$\tilde{Y}_0$是可逆的，并且恒等式$\tilde{\Phi} = 0$应用于$\tilde{Y}_0$的次要项，然后出现在该恒等式中的每个次要项（被视为*$\tilde{Y}$的*次要项）被其表达式替换为$Y$的次要项的函数，使用恒等式（1） 习题 9，矩阵$Y$的未成年人之间获得身份$\Phi_k = 0$（如果$Y$和$\tilde{Y}_0$可逆则有效），称为身份的阶*$k$的*扩张 $\Phi = 0$。

特别地，令$A = (\alpha_{ij})$为阶$n + k$的可逆平方矩阵，$B$通过抑制$A$中的行而获得阶$k$的$A$的子矩阵指标 $> k$ 的列和$\Delta_{ij}$ 阶 $k + 1$ 的矩阵的行列式是通过在$A$ 中抑制指标 $> k$ 除指标的行而获得的指标 $> k$ 中的 $k + i$ 和列，指标 $k + j$ 除外；如果 $C$ 表示阶 $n$ 中的矩阵 $(\Delta_{ij})$，则显示身份

当 $A$ 和 $B$ 可逆时有效（表明它是阶 $n$ 行列式的总展开中的阶 $k$ 中的扩张）。

说出拉普拉斯展开(§ 8, no. 6)的扩展所获得的恒等式以及§ 8的习题2的恒等式。