习题 2, § 5

（函子$\Gamma$）用$k$交换环和$E$表示$k$模块。通过 $E$ 的伽玛代数，我们理解由生成的系统 $N \times E$ 和关系器 (cf. III, p. 450) 定义的结合交换单位代数

其中$p, q$范围超过$\mathbf{N}$，$x, y$范围超过$E$，$\lambda$超过$k$。这个代数用$\Gamma(E)$表示。对于每个$p \in \mathbf{N}$，我们用$E$到$\Gamma(E)$的$\gamma_p$映射表示，由单射$x \mapsto (p, x)$和$N \times E$到$\Gamma(E)$上的自由交换代数的典范同态组成。 a) 验证对于每个 $x \in E$，序列 $\gamma_p(X)$ 是$\Gamma(E)$ (习题 1) 的元素的指数型的序列，并且映射 $y : x \mapsto (\gamma_p(x))_{p \in \mathbf{N}}$ 是同态将$k$-模$E$转化为$k$-代数$\mathscr{E}(\Gamma(E))$。 b) (泛性质 / $\Gamma(E)$)。设$B$是$k$模$E$到$\mathscr{E}(B)$的结合交换单位$k$-代数和$\varphi$同态。证明存在唯一代数同态 $h : \Gamma(E) \to B$ 使得$\varphi = \mathscr{E}(h) \circ y$。 c) 证明存在一个唯一的单位同态代数 $\varepsilon : \Gamma(E) \to k$，使得$\varepsilon(\gamma_p(x)) = 0$ 对于所有$p > 0$ 和所有$x \in E$。 d) 对于每个$p \in \mathbf{N}$，令$\Gamma_p(E)$为由元素生成的$\Gamma(E)$中的子模

其中 $s \in \mathbf{N}$、$\nu \in \mathbf{N}^s$ 和 $|\nu| = \sum_i \nu_i = p$。验证子模 $\Gamma_p(E)$ 形式毕业为代数 $\Gamma(E)$。证明 $\gamma_1$ 是 $E$ 的同构到 $\Gamma_1(E)$（要验证 $\gamma_1$ 是单射的，请考虑代数 $B = k \times E$ 以及由公式 $(\lambda, x)(\mu, y) = (\lambda \mu, \lambda y + \mu x)$ 定义的乘积，并证明存在同态 $\Gamma(E)$ 变为 $B$，其中映射 $\gamma_1(x)$ 至 $(0, x)$ 对于任何 $x \in E$。 e) 令$E$和$F$为两个$k$模块，并将$E$的$h$同态放入$F$。证明存在分级代数 $\Gamma(h) : \Gamma(E) \to \Gamma(F)$ 的唯一同态，使得所有 $p \in \mathbf{N}$ 都有 $\gamma_p \circ h = \Gamma(h) \circ \gamma_p$。验证如果 $g$ 和 $h$ 是 $k$ 模块的同态，从而定义了 $g \circ h$，则$\Gamma(g \circ h) = \Gamma(g) \circ \Gamma(h)$。

f) 令 h : E → F 为满同态或 K-模。证明 Г(h) 是满射，并且其核是由元素 γ_p(x) 生成的 Г(E) 的理想，其中 p > 0 且 x ∈ Ker(h)。

g) 令 E 和 F 为两个 K-模。证明在代数 Γ(E) ⊗_k Γ(F) 中存在代数 T(E × F) 的唯一同态 φ 使得

对于任何 p ε N，x ε E 和 y ε F。证明该同态与同构与刻度兼容。