习题 13, § 6

令$n \geq 1$为整数，并且$\mathbf{N}^n$按字典顺序为阶元素（记号$a \leq \beta$）。对于每个$a \in \mathbf{N}^n$，令$T_a$为形式$X^\alpha + \sum u_{\alpha \beta} X^\beta$$\mathbf{Z}[X_1, \ldots, X_n]$元素集合（与$u_{\alpha \beta} \in \mathbf{Z}$）。

a) 证明$T_a$的元素的乘积乘以$T_\beta$的元素位于$T_{\alpha + \beta}$。

b) 设 $\varepsilon_k$ 为 $\mathbf{N}^n$ 的元素 $(1, 1, \ldots, 1, 0, \ldots, 0)$。显示$s_k \in T_{\varepsilon_k}$。推断出

属于到 $T_a$，对于 $a \in \mathbf{N}^n$ 使得 $a_1 \geq a_2 \geq \ldots \geq a_n$。 （集合$a_{n+1} = 0$。）

c) 利用IV、p. 66的记号，推导出$a \in D_k$为$c_s = d_s = 1$，如果$\alpha < \beta$则为$c_{\alpha \beta} = d_{\alpha \beta} = 0$。