习题 2, § 6

令 $\Gamma$ 为有限交换幺半群。考虑以下条件 $E_0$ 和 $E_p$，其中 $p$ 表示素数数。 $(E_0)$ 如果$x \in \Gamma$ 和$e, d$ 是整数 $\geq 0$，则关系 $x^{e+d} = x^d$ 意味着关系 $x^{e+1} = x$。 $(E_p)$ 如果$x, y \in \Gamma$，则关系 $x^p = y^p$ 意味着$x = y$。 令$K$ 为特征$p$ ($\geq 0$) 的域，令$A$ 为幺半群$\Gamma$ 的$K$代数$K^{(\Gamma)}$。 a) 对于 $A$ 来说，满足条件 $(E_p)$ 是必要且充分的。 （使用例 1 来证明充分性。对于 $p = 0$，如果$x^{e+d} = x^d$，则$x^{e+1} - x$ 幂零的；对于$p > 0$，使用V、p. 35 的相关性。） b) 令$X$为$\Gamma$的同态的集合代入$K$的乘法幺半群。我们有$\mathrm{Card}\ X \leq \mathrm{Card}\ \Gamma$。如果 $K$ 是代数闭的，则当且仅当满足条件 $(E_p)$ 时，$\mathrm{Card}\ X = \mathrm{Card}\ \Gamma$ 成立。 c) 如果 $\Gamma$ 是群，则条件 $(E_0)$ 始终成立；如果$p > 0$，条件$(E_p)$等价于说，$\Gamma$的每个元素都有阶与$p$素的，或者$\mathrm{Card}\ \Gamma$不能被$p$整除。