习题 3, § 1

设$A$为整环，其中每一个非空集合的理想都有极大元素，并且其中每个最大理想都是主要的；证明 $A$ 是主理想整环。 （请注意，如果 $a \neq A$ 是 $A$ 的理想，则存在最大理想 $(p) \supset a$，使得 $\frac{1}{p} a$，它是 $A$ 的理想，严格来说是包含 $a$。）

b) 令$K$为域，令$K_1 = K((X))$为形式幂级数的域，在$K$上的一个不定$X$（IV，p. 38），并令$B = K_1[[Y]]$是$Y$中形式幂级数的环，系数在$K_1$中。令$A$为幂级数$\sum_{n=0}^\infty a_n(X) Y^n$中$B$由……组成中的子环，使得幂级数$a_0(X)$仅涉及幂 $X$ 指数为 $\geq 0$。证明主理想$(X)$是$A$的唯一最大理想，但由元素$Y X^{-n}$（$n \geq 0$任意整数）生成的$A$不是主理想