习题 3, § 2

设A为主理想整环。 a) A-模 M 是单射的 (II, p. 389, 例 11) 当且仅当，对于 A 中所有 x ∈ M 且所有 a ≠ 0，存在 y ∈ M 使得 x = ay； A-模 M 被称为可整除。如果 E 是任意 A-模，则 E 的所有可整除的子模中的和是最大的可整除 E 的子模 Δ(E)。对于 E 的每个子模 F，我们都有 Δ(F) ⊂ A(E)。 b) 设 M 为可整除的 A-模，令 π 为 A 的不可约元，并令 $x_0$ 为 M 的元素，其中湮没子有形式 Aπ^n (n > 0 整数)。对于每个整数 s ≥ 0，M 的元素的定义序列 (x_s) 递归通过条件 $x_s = \pi x_{s-1}$。证明由序列 (x_s) 生成的 M 的子模与 π 主分量同构模 U 的 U_π = K/A，其中 K 是 A 的分数的域。 c) 证明 U_π 是可整除的模，并且 U_π 中除 U_π 和 {0} 之外的每个子模都是循环的，并且由 π 的某个幂的类 mod A 生成；推导出 U_π 不可分解（II，p. 393，例 21）。 d) 证明每个不可分解的 A-模与 K 或模 U_π 之一同构（使用 a）和 b））。 e) 证明每个可整除的A-模同构于不可分解整除的子模族的直和（将Zorn的引理应用于不可分解可整除的子模族，其和是直接的）。