习题 27, § 21

令F为特征$p >0$的代数闭域，G为有限群。

a) 设 $x\in G$。证明存在唯一的分解$x=x_ux_s$，其中$x_u$的阶是$p$的幂，$x_s$与$p$互质，$x_u$和$x_s$可交换。 元素 $x_u$ 和 $x_s$ 是 $x$ 中的幂。

b) 设$\pi$为G的线性表示除以有限次数的F。证明对于每个$x\in G$，我们都有$\chi_{\pi}(x) =\chi_{\pi}(x_s)$。

c) 如果 G 的阶与 $p$ 互质，则称 G 的元素 $x$ 是 $p$ 正则；我们用G的$p$规则元素的$G^{reg}$集合和从$G^{reg}$到F的中心函数的$\mathscr{Z}_F(G^{reg})$空间表示。从发送表示的类的同态$R_F(G)\rightarrow \mathscr{Z}_F(G^{reg})$表示$\chi_{\pi}$到$G^{reg}$的$\pi$到限制，我们推导出环同态$\psi : F\otimes_{\mathbf{Z}}R_F(G)\rightarrow \mathscr{Z}_F(G^{reg})$。证明$\psi$是单射的（使用b）和VIII、p. 384的推论）。

d) 设$x$是$G, Z(x)$其交换子的$p$正则元素，P是$Z(x)$的Sylow$p$子群，以及由P和$x$生成的G的$H_x$子群。证明$H_x$是由$x$生成的P和G的子群的直接乘积，并且其共轭类由$x$的共轭类很好地确定。

e) 次数 1 的 $H_x$ 和 F 的元素 $a_1, . . . , a_m$ 的构造表示 $\sigma_1, . . . , \sigma_m$，使得函数 $\sum a_i\chi_{\sigma_i}$ 在 $x$ 处取值 1，在另一个处取 0 $x$ 中的幂（$x$ 生成的子群中的第一个构造表示）。让$\rho_i=$Ind$^G_{H_x}\pi_i$代表$i= 1, . . . , m$，并让$f=\sum_ia_i\chi_{\rho_i}$。证明 $f(x)$ 等于 $(Z(x) : H_x) 1_F$，即 F 中的非零的，并且对于 G 中不是共轭到 $x$ 的每个 $p$ 正则元素，$f(y)$ 等于零。

f ) 从 e) 推出同态 $\psi : F\otimes_{\mathbf{Z}}R_F(G)\rightarrow \mathscr{Z}_F(G^{reg})$ 是双射的。特别地，简单F[G]-模的同构类的数等于G的$p$-规则元素的共轭类的数。