习题 2, § 1

(a) 令 E 为预序集合，令 $S\{x, y\}$ 为 E 上的等价关系。令 $R\{X, Y\}$ 表示关系“$X \in E/S$ 和 $Y \in E/S$，并且对于每个$x \in X$，存在$y \in Y$，使得 $x \leqslant y$”。证明 R 在 E/S 上是预序关系，称为 S 与关系 $x \leqslant y$ 的“商”。 商集 E/S，赋予了预序关系，被称为（滥用语言；cf.章IV, § 2, no. 6）S 与预先排序的集合 E 的*商*。

(b) 令 $\varphi$ 为 E 到 E/S 的典范映射。证明如果 $g$ 是预先排序的商集 E/S 中的映射到预先排序的集合 F 中，使得 $g \circ \varphi$ 是递增映射，则 $g$ 是递增映射。当且仅当 S 满足以下条件时，映射 $\varphi$ 为递增：

E中的(C)关系$x \leqslant y$和$x \equiv x' \pmod{S}$意味着存在$y' \in E$，使得$y \equiv y' \pmod{S}$和$x' \leqslant y'$。

如果满足条件，则称等价关系 S 与预序关系 $x \leqslant y$ 弱兼容（在$x$ 和$y$ 中）。每个与预序关系 $x \leqslant y$ (章 II, § 6, no. 3) 相容的（在 $x$ 中）的等价关系 S 与此关系 更不必说 弱兼容（在 $x$ 和 $y$ 中）。

(c) 令$E_1$和$E_2$为两个预先排序的集合。证明如果$S_1$在$E_1 \times E_2$上是等价关系$\mathrm{pr}_1 z = \mathrm{pr}_1 z'$，那么$S_1$在$z$和$t$中与乘积预序关系$z \leqslant t$在$\mathrm{E}_1 \times \mathrm{E}_2$上是弱兼容的（但是通常不与 $z$ 或 $t$ 中的关系单独兼容）；此外，如果$\varphi_1$是$\mathrm{E}_1 \times \mathrm{E}_2$到$(\mathrm{E}_1 \times \mathrm{E}_2)/\mathrm{S}_1$的典范映射，并且如果$\mathrm{pr}_1 = f_1 \circ \varphi_1$是$\mathrm{pr}_1$相对于等价关系$\mathrm{S}_1$的规范分解，那么$f_1$是$(\mathrm{E}_1 \times \mathrm{E}_2)/\mathrm{S}_1$ 的同构到$\mathrm{E}_1$。

(d) 对于(a)的假设，假设E是一个*有序*集合并且满足以下条件：

E 中的 (C′) 关系 $x \leqslant y \leqslant z$ 和 $x \equiv z$ (mod S) 意味着 $x \equiv y$ (mod S)。

证明 $\mathrm{R} \{ \mathrm{X}, \mathrm{Y} \}$ 是 E/S 上 X 和 Y 之间的 序 关系。

(e) 给全序集 E 的例加上 E 上的四个元素和等价关系 S，使得条件 (C) 和 (C′) 都不满足，但使得 E/S 是有序的集合。

(f) 令E为有序集合，令$f$为E到有序集合F的递增映射，并令$\mathrm{S} \{ x, y \}$为E上的等价关系$f(x) = f(y)$，则满足条件(C′)。此外，当且仅当关系$x \leqslant y$和$f(x) = f(x')$意味着存在$y' \in \mathrm{E}$使得$x' \leqslant y'$和$f(y) = f(y')$时，满足条件(C)。令$f = g \circ \varphi$为$f$的规范分解。那么$g$是E/S到$f(\mathrm{E})$的同构当且仅当条件满足，并且在加法，关系$f(x) \leqslant f(y)$意味着存在$x', y'$使得$f(x) = f(x')$，$f(y) = f(y')$，并且$x' \leqslant y'$。