习题 14, § 2

序数是序型 of 良序集 (习题 13)。

(a) 证明，如果 $(\lambda_\iota)_{\iota \in I}$ 是一个由良序集 $I$ 索引的序数族，则序数和 $\sum_{\iota \in I} \lambda_\iota$ 是一个序数； \* 并且，如果 $I$ 是有限的，则序数乘积 $\mathbf{P}_{\iota \in I} \lambda_\iota$ 是一个序数 (习题 11)。 \* 空集的序型用0表示，集合的元素用1表示（滥用语言，cf.§ 3）。表明

对于每个序数$\alpha$。

(b) 证明关系“$\lambda$是序数，$\mu$是序数，$\lambda \prec \mu$”是*良序关系*，用$\lambda \leqslant \mu$表示。 （注，如果$\lambda$和$\mu$是序数，关系$\lambda \prec \mu$等价于“$\lambda$等于$\mu$线段的序型”（no. 5，定理3，推论3): 给定一个序数族$(\lambda_\iota)_{\iota \in I}$，考虑在$I$上进行良序排序，并取按$\lambda_\iota$排序的集合族的序数和，最后得到no. 1的应用命题2。）

(c) 设 $\alpha$ 为序数。证明关系“$\xi$是序数，$\xi \leqslant \alpha$”是$\xi$中的集合化，并且序数$< \alpha$的集合$O_\alpha$是良序集，使得$\mathrm{Ord}\,(O_\alpha) = \alpha$。我们经常将认同$O_\alpha$与$\alpha$。

(d) 证明对于每个序数族$(\xi_\iota)_{\iota \in I}$，都存在一个唯一的序数$\alpha$，使得关系“$\lambda$是序数，$\xi_\iota \leqslant \lambda$对于所有$\iota \in I$”相当于$\alpha \leqslant \lambda$。通过滥用语言，$\alpha$被称为序数族$(\xi_\iota)_{\iota \in I}$中*最小的上界*，我们写为$\alpha = \sup_{\iota \in I} \xi_\iota$（它是$\{\alpha\}$的并和$\xi_\iota$的集合的最大元素）。序数 $\xi < \alpha$ 的集合中最小的上界要么是 $\alpha$，要么是序数 $\beta$，使得 $\alpha = \beta + 1$；在后一种情况下，$\beta$被认为是$\alpha$的*前身*。