习题 16, § 2

如果不存在序数 $\xi$、$\eta$ 的对使得 $\xi < \rho$、$\eta < \rho$ 和 $\xi + \eta = \rho$，则称序数 $\rho > 0$ 是*不可分解的*。

(a) 序数$\rho$不可分解当且仅当$\xi + \rho = \rho$对于每个序数$\xi$使得$\xi < \rho$。

(b) 如果 $\rho > 1$ 是不可分解序数，并且 $\alpha$ 是任何序数 $> 0$，则 $\alpha\rho$ 是不可分解的，反之亦然（使用习题 15 (f)）。

(c) 如果 $\rho$ 不可分解，并且如果 $0 < \alpha < \rho$，则$\rho = \alpha\xi$，其中 $\xi$ 是不可分解序数（使用习题 15 (f)）。

(d) 设$\alpha$为序数$> 0$。证明不可分解序数$\leqslant \alpha$ 中存在最大的不可分解序数（考虑分解 $\alpha = \rho + \xi$，其中$\rho$ 不可分解）。

(e) 如果 E 是任意集合不可分解序数，则从 (d) 推导出 E 中至少上界 (习题 14 (d)) 是不可分解序数。