习题 6, § 2

令$F$和$G$为分离对偶性中的两个向量空间。 a) 证明以下性质是等价的： $\alpha$空间$F$与拓扑兼容$F$和$G$之间的对偶性，是半自反的； $\beta$ 空间 $G$，与$\tau(G, F)$，桶装。 b) 证明下列性质是等价的： $\alpha$ 空间 $F$ 与 $\tau(F, G)$ 是自反的；

β) 空间 G，与 τ(G, F) 是自反的； γ) F 和 G 分别针对 τ(F, G) 和 τ(G, F) 进行桶装。 c) 证明每个局部凸 Hausdorff 空间 E，以及拓扑 τ(E, E') 都同构于半自反空间 F 与闭子空间的商。 （通过 III，p. 44，练习 14，c），赋予 τ(E', E) 的 E' 同构于 Hausdorff 桶状空间 G 的封闭向量子空间 M；取 F = G' 赋予 τ(G', G) 并使用 prop. IV、p. 10 中的 11 个。） d) 设 A 为无限集合，且 Card(A) > $\aleph_1$（S，III, § 6，练习 10）。在乘积空间 P = $\mathbf{R}^A$ 中，令 E_0 表示所有 x = $(x_\alpha)_{\alpha \in A}$ 的处处稠密子空间由……组成，使得 $x_\alpha = 0$ 除了指标的可数集合之外； 空间 E_0 是桶装的，P 中的子空间 E 也是由 E_0 和 P 中的点 1_A 生成的，其坐标都等于 1（III，p. 45，执行 16）。设 B 为 E_0 中的有界子集，其闭包在 P 包含 1_A 中，并令 J 为 A 的子集，基数为 $\aleph_1$；设 pr_J 表示从 P 到 $\mathbf{R}^J$ 的投影；证明B中存在子集 B_J，基数为$\leq \aleph_1$，使得$\mathbf{R}^J$包含1_J中的pr_J(B_J)闭包；那么所有指标 $\alpha \in A$ 中的集合 J' ⊃ J 使得对于 B_J 中的至少一个点，与指标 $\alpha$ 的坐标为 $\neq 0$，其基数等于 $\aleph_1$。我们定义 J_0 = J 和归纳 $J_{n+1} = J'_n$，并设H = $\bigcup_n J_n$，其基数为$\aleph_1$，令$B_H = \bigcup B_{J_n}$；表明$B_H$（因此也是B）包含点$(1_H, 0) \in \prod^n \mathbf{R}^{H} \times \mathbf{R}^{A-H} = P$的闭包，它不会将属于到E_0。 结论对于 E 中的每个有界和紧集 C，C ∩ E_0 再次在 E 中闭，并且 E 不是半自反的。 e) 从 d) 中推出，E 的对偶 E'（可以用 P 的对偶 P' = $\mathbf{R}^{(A)}$ 来识别）对于拓扑 τ(E', E) 来说是不完备的，尽管对于这个拓扑是半自反的（因此是准完备的）（考虑 E 上的线性形式，它在 E_0 上等于 0 并且等于在点 1_A 处为 1，并使用 III、p. 21、th 2)。