习题 18, § 1

令 E 为维数 $\geq 3$ 的实数范数空间。假设 E 的闭向量子空间的集合 $\mathfrak{M}$ 存在递减双射映射 $\omega$ 到自身，使得对于每个$M \in \mathfrak{M}$ 都有$\omega(\omega(M)) = M$ 和$M \cap \omega(M) = \{0\}$。 a) 证明存在从 E 到其对偶 $E'$ 的线性映射 $u$，定义为标量因子，并且$u(M) = (\omega(M))^\circ$ 对于所有$M \in \mathfrak{M}$。 （考虑M为一维的情况，通过注意到应用射影几何的基本th（A，II, § 9，练习16），域$\mathbf{R}$中唯一的自同构是恒等映射（GT，IV, § 3，练习3）。 b) 如果我们放入 $\langle x|y \rangle = \langle x, u(y) \rangle$，则表明 $\langle x|x \rangle \neq 0$ 对于所有 $x \neq 0$ 且关系 $\langle x|y \rangle = 0$ 和 $\langle y|x \rangle = 0$ 是等价的。为 E 的点 $x, y$ 的每个对推导出 $\langle y|x \rangle = \langle x|y \rangle$（考虑数 $\lambda \in \mathbf{R}$ 使得 $\langle \lambda x + y|x \rangle = 0$）。 c) 证明$\langle x|x \rangle$在所有$x \neq 0$中的集合上具有相同的符号； 替换$u$乘以$-u$，如果有必要，我们可以假设$\langle x|y \rangle$是正数，在$E \times E$上分离对称双线性形式。 d) 令 $\mathscr{T}_0$ 为 E 的初始拓扑。证明 E 上的拓扑 $\mathscr{T}$，由范数 $\langle x|x \rangle^{1/2}$ 定义，是更细比拓扑 $\mathscr{T}_0$（观察 E 的对偶$\mathscr{T}$ 包含 E 的对偶 $E'$ 代表$\mathscr{T}_0$）。 e) 对于拓扑$\sigma(E, E')$ 和$\sigma(E', E)$，证明$u$ 是从E 到其对偶$E'$ 的连续映射。推断如果 E 对于初始拓扑 $\mathscr{T}_0$ 是完整的，则 $u$ 对于 $\mathscr{T}_0$ 和强拓扑 $\beta(E', E)$ 是连续的（观察到 $u$ 变换每个集合有界） $\sigma(E, E')$ 变为有界集合 $\sigma(E', E)$）。推导出拓扑$\mathscr{T}$和$\mathscr{T}_0$是相同的，并且$\omega(M)$是由形式$\langle x|y \rangle$在$E$上定义的希尔伯特空间结构的$M$的正交补集（cf.I，p. 17，第 1）。 f) 证明在空间 $\ell^1(\mathbf{N})$ 中，由 $\ell^\infty(\mathbf{N})$ 的引出范数分配给它，存在从 $\mathfrak{M}$ 到自身的双射映射 $M \mapsto \omega(M)$，具有上述属性（IV，p. 47，exerc. 1）。