习题 13, § 4

设$g$为李代数，$\mathfrak{z}$为$\mathscr{C}^\infty g$在$g$的中心化器。如果 $\mathfrak{z} \not\subset \mathscr{C}^\infty g$，$g$ 具有非零中心。 （写 $g = \mathscr{C}^\infty g + \mathfrak{t}$，其中 $\mathfrak{t}$ 是 $g$ (习题 12) 的幂零子代数。令 $g_1 = \mathfrak{z} + \mathfrak{t}$。令 $\mathfrak{h}$ 成为幂零子代数，使得 $g_1 = \mathscr{C}^\infty g_1 + \mathfrak{h}$。证明 $g = \mathscr{C}^\infty g + \mathfrak{h}$ 以及$\mathscr{C}^\infty g_1 \subset \mathfrak{z} \cap \mathscr{C}^\infty g$。令$y$为$\mathfrak{z}$的元素，而不是属于到$\mathscr{C}^\infty g$。写出$y = x + x'$，其中$x \in \mathfrak{h}, x' \in \mathscr{C}^\infty g_1$；然后$x \in \mathfrak{z}$和$x \neq 0$，因此$\mathfrak{z} \cap \mathfrak{h}$是非零。 $\mathfrak{h}$的理想；利用习题 3 (a)，推论出存在$g$的非零元素可与$\mathscr{C}^\infty g$和$\mathfrak{h}$置换。）