习题 22, § 4

(a) 令$u, v$为向量空间$E$中有限维的两个自同态除以代数闭域$K$。对于$u$的每个特征值$\lambda$，令$E_\lambda$为向量的$E$由……组成的子空间被$u - \lambda I$的幂消灭。证明，如果 $(\mathrm{ad}\, u)^n v = 0$，子空间 $E_\lambda$ 在 $v$ 下稳定。 (b) 由(a)推导出，如果$g$是$E$的自同态的幂零李代数，则$E$是子空间$F_j$($1 \leq j \leq m$)的直和，在$g$下是稳定的，并且使得在每个元素$u \in g$的每个$F_j$限制上都可以写成$\lambda_j(u) I + u_j$，其中$\lambda_j(u) \in K$和$u_j$是幂零的。 (c) 如果$K$具有特征2，$E = K^2$和$g$幂零代数$\mathfrak{sl}(2, K)$，则证明$m = 1$和可能$\lambda(u + v) \neq \lambda(u) + \lambda(v)$对于$g$的两个元素$u, v$。 （对于这个习题，cf.§ 5，习题12的续集。）