习题 7, § 4

(a) Let $V$ be a finite-dimensional vector space over $K$, $g$ a Lie algebra of nilpotent endomorphisms of $V$ and $(V_r)_{0 \leq r < n}$ a decreasing sequence of vector subspaces of $V$, with $V_0 = V, V_n = \{0\}$ and $g(V_r) \subset V_{r+1}$ for $0 \leq r < n$. 由归纳在$i$上显示$(\mathscr{D}^i g)(V_r) \subset V_{r+2^i}$。 若$\dim V \geq 2^i$，则$V$的元素被$\mathscr{D}^i g$湮灭，则子空间为维数$\geq 2^i$。 如果$\dim V \leq 2^i$，则$\mathscr{D}^i g = \{0\}$。

(b) 设$g$为幂零李代数且$i$整数$\geq 0$。如果$\mathscr{D}^i g$的$\dim \mathscr{D}^i g > 2^i + 1$中心是维数$\geq 2^i$。如果$\dim \mathscr{D}^i g \leq 2^i + 1$，$\mathscr{D}^i g$是可交换的。 （将 (a) 应用于广告$_g$ $x, x \in g$ 的限制至 $\mathscr{D}^i g$。）

(c) 设$g$为幂零李代数且$i$整数$\geq 0$。如果 $\mathscr{D}^i g$ 不可交换，则 $\mathscr{D}^i g/\mathscr{D}^{i+1} g$ 属于维数 $\geq 2^i + 1$。 （约化，除以经过商，对于$\dim \mathscr{D}^{i+1} g = 1$的情况，并使用(b)。）