习题 12, § 6

设$g$为李代数，$r$为其根式，$D$为$g$的推导。 (a) 如果$D(r) = \{0\}$，则$D$为内部。 （令$c$为$g$中$r$的中心化子。$c$上$g^* = g/r$的$g$ 定义表示 $x^* \mapsto \rho(x^*)$的伴随表示。另一方面， $[D(g), r] \subset D([g, r]) + [g, D(r)] = \{0\}$，因此$D(g) \subset c$，因此$D$定义线性映射$D^*: g^* \to c$。

对于$g^*$中的所有$x^*, y^*$。推断存在 $a \in c$，使得 $D^*x^* = \rho(x^*)a$ 对于所有 $x^* \in g^*$（cf. no. 2，*注* 2），从而 $Dx = [x, a]$ 对于所有 $x \in g$。） (b) 如果$r$上有$D$重合，且$g$有内部推导，则$D$为内部。 （应用（a）。）