习题 18, § 6

(a) 设 $g$ 为简单的李代数。 $g$ 上的每个不变双线性形式要么是零，要么是非简并的。如果$K$是代数闭的，则$g$上的每个不变双线性形式$\beta$与杀戮形式$\beta_0$成正比。 （考虑由$\beta(x, y) = \beta_0(\sigma x, y)$定义的向量空间$g$的自同态$\sigma$，并证明$\sigma$与$\mathrm{ad}_g x$可交换，因此是标量。）证明如果$K$不是代数封闭的，则该结果可能为假。 （使用习题 17，并且当基域扩展时，不变双线性形式的空间的维数不等于变换。）

(b) 设 $g$ 为半单李代数大于代数闭域。由(a)和习题7(b)推导出$g$上的不变双线性形式空间维数等于$g$的简成分数且所有这些形式都是对称的。

(c) 设$g$为简单李代数，$M$为向量空间$g$的对偶空间，以及伴随表示的对偶表示，以及$h$为乘积的半直接乘积 $g$和$M$由$x \mapsto x_M$定义。对于$g$中的$y, z$和$M$中的$y', z'$，我们写为$\beta(y + y', z + z') = \langle y, z' \rangle + \langle z, y' \rangle$。证明$\beta$是$h$上的非简并不变对称双线性形式，它与$h$没有表示相关。 （观察$h$的根式和幂零根式等于$M$。）