习题 3, § 7

设$g$为李代数，$U$包络代数。

(a) 证明对于所有$u \in U$ ($u \neq 0$)，存在$U$ 的有限维表示 $\pi$，使得$\pi(u) \neq 0$。 （使用 § 3 的习题 2 和习题 5 (b)。）

(b) 从 (a) 推导出，如果 $g$ 是半单，则存在无穷多个$g$ 的不等价有限维简单表示。 （令$\rho_1, \ldots, \rho_n$为$g$、$N_1, \ldots, N_n$湮没子的相应的U模和$N = \bigcap_{i=1}^n N_i$的有限维简单表示。 证明 $N$ 在 U 中具有有限维数。 令$n \in \mathbf{N}$，$n \neq 0$。 将 (a) 应用于 $n$。）