习题 5, § 7

令K为特征$p > 0$的域、有限维的$n$的$g$李代数以及U上$g$的包络代数。

(a) K 上的 p 多项式（一个不定式）是 $K[X]$ 中的任意多项式，其唯一的项 $\neq 0$ 是 $p$ 的次数幂。证明对于$K[X]$中的每个多项式$f(X) \neq 0$，都存在$g(X) \in K[X]$，使得$f(X)g(X)$是$p$多项式（考虑$X^{p^k}$与$f(X)$在欧几里得除法中的余数）。

(b) 证明对于每个元素 $z \in g$ 都存在一个非零多项式 $f(X) \in K[X]$，使得 U 的 $f(z)$ 属于到中心 C。（考虑自同态 $\operatorname{ad} z$ 的最小多项式并应用(a) 到该多项式，以及习题 19 的 § 1 的公式 (1)。）

(c) 设$(e_i)_{1 \leq i \leq n}$为$g$中的基。对于每个 $i$ 令 $f_i \neq 0$ 为 $K[X]$ 中的多项式，使得 $f_i(e_i) \in C$；设$d_i$为其次数，L为由$y_i = f_i(e_i)$生成的U的两侧理想。显示类 mod。 元素 $e_1^{\alpha_1} \ldots e_n^{\alpha_n}$ 中的 L，其中 $U/L$ 中的 $0 \leq \alpha_i < d_i$ 形式基。

(d) 表明$g$承认有限维忠实线性表示（选择$f_i$，因此$d_i > 1$对于所有$i$）。

(e) 证明如果$g \neq \{0\}$，则存在$g$的非半简单有限维线性表示。 （假设$f_i$是次数$d_i > 1$，替换$f_i$乘以L和注的定义中的$f_i^2$，则存在幂零元$\neq 0$在$U/L$的中心中，因此$U/L$不是半单。）