习题 15, § 2

设 $X = \{x, y\}$ 为集合和两个元素，设 $\sigma$ 为李代数 $L(X)$ 的自同构。证明，如果$K$为域，则$\sigma$保留$L(X)$的分级（将习题14应用于最高次数的$\sigma(x)$和$\sigma(y)$的非零齐次分量）；将$\mathrm{Aut}(L(X))$的同构推导到$\mathbf{GL}(2, K)$。 扩展这些结果适用于环 $K$ 没有幂零元 $\neq 0$ 的情况。当零平方的$K$包含元素$\varepsilon \neq 0$时，证明$x \mapsto x, \ y \mapsto y + \varepsilon[x, y]$可以扩展到$L(X)$的自同构，但不保留$L(X)$的分度。