习题 2, § 3

设$g$为李代数，即自由模；它通过$\sigma : g \to Ug$及其包络线代数$Ug$中的像来识别。设$U^+g$为典范同态$Ug \to K$中的核。令$i$为$X$的映射入$g$，使得$i(X)$生成$g$为李代数。 (a) 证明$U^+g$是由$i(X)$作为左$Ug$模块生成的。 (b) 显示以下属性的等价： (i) 基本家庭$i : X \to g$免费使用$g$。 (ii) 族$i$是左侧$Ug$-模块$U^+g$的基。 （蕴涵式 (i) $\Rightarrow$ (ii) 由习题 1 (a) 使用同构 $Ug \to A(X)$ 得出。要显示 (ii) $\Rightarrow$ (i)，请将同态 $A(X) \to Ug$ 的习题 1 (b) 到核由$i$定义。）