习题 17, § 4

假设 G 是幂零的。令 P 为素数数的集合，并令 $\mathfrak{V}_p(G)$ 为有限指标的 G 的正常子群的集合，其中指标是 P 整数 (cf. 习题 14)。令$\mathscr{T}_P(G)$为G上由过滤器基$\mathfrak{V}_p(G)$定义的拓扑（一般拓扑、章III, § 1, no. 2、例）。 (a) 令 N 为有限指标的 G 的子群，使得 $(G:N)$ 为 P 整数，并令 N' 为 N 的共轭的交。证明 $(G:N')$ 为 P 整数（使用群 G/N' 为乘积它的 Sylow 群);推断 N 对于 $\mathscr{T}_P(G)$ 是开集。 (b) 令 H 为有限指标的 G 的子群。证明 $\mathscr{T}_P(H)$ 重合和拓扑由 $\mathscr{T}_P(G)$ 在 H 上诱导。 （同样方法。） (c) 令 H 为 G 的正规子群，使得 G/H 同构于 $\mathbf{Z}$，并令 x 为 G/H 的生成元在 G 中的代表。设 $N \in \mathfrak{V}_P(H)$ 并设 $N' = \bigcap_{n \in \mathbf{Z}} x^n N x^{-1}$。显示 $N' \in \mathfrak{V}_P(H)$ 和 $x N' x^{-1} = N'$。如果$N''$是由N'和x生成的子群，则证明$(G:N'') = (H:N')$。推出$\mathscr{T}_P(H)$是由$\mathscr{T}_P(G)$诱发的。 (d) 假设 G 是有限的。证明，如果 H 是 G 的子群，则存在子群的序列

使得$H_i$对于$0 \leq i < k$来说在$H_{i+1}$中是正规的，并且$H_{i+1}/H_i$是有限的或者同构于$\mathbf{Z}$。使用 (b) 和 (c) 推断 $\mathscr{T}_P(H)$ 由 $\mathscr{T}_P(G)$ 诱发。

(e) 根据(d)的假设，令$P'$表示素数数的集合中$P$的补集。证明$\mathscr{T}_P(G)$重合下$H$的闭包与$G$中$H$的$P'$饱和度（习题14）；特别是，$G$ 是 Hausdorff 当且仅当它是 $P'$ 无扭转。