习题 9, § 4

让$G$ 被给予过滤$(C^n G)$。

(a) 证明由$\mathrm{gr}_2(G)$生成的$\mathrm{gr}(G)$的理想是$\sum_{q \geqslant 2} \mathrm{gr}_q(G)$。

† 我们不知道 $G_n = C^n G$ 是否适用于所有 $n$。当 $G$ 是免费的群、cf. § 5、习题 1 时，在任何情况下都是如此。 ‡ 可以证明$\xi$是阶12。

(b) 令$(x_i)_{i \in I}$为$G$的生成的族，并令$m \geq 1$。假设对于所有 $(i, j) \in I^2$，$(x_i, x_j)^m \in C^3 G$。证明，对于所有 $q \geq 2$ 和所有 $u \in C^q G$，$u^m \in C^{q+1} G$（使用 (a)）。