习题 4, § 6

令 $X$ 为有限集合，并令 $\hat{L} = \hat{L}(X)$。我们给出 $\hat{L}$ 合成 $(a, b) \mapsto a \mathbf{H} b$ 的 Hausdorff 律，我们简单地用 $a.b$ 表示。如果$t \in K$，$a \in \hat{L}$，我们写为$a^t = ta$。 (a) 设$\mathscr{H}$是相对于$X$的大厅集合。如果$m \in \mathscr{H}$，令$m_L$表示李代数$L(X)$（§ 2, no. 11）的相应的元素，$m_{\mathscr{H}}$表示群$\hat{L}$的基本换位子，定义为$m$（§ 5, no. 4，*注*）。如果$m$属于长度$l$，则证明$m_{\mathscr{H}} = m_L + \mu$，其中$\mu$属于过滤$\geqslant l + 1$（由归纳对$l$论证）。推论群$\hat{L}$中的每一个元素$w$都可以唯一地写成形式

其中 $\alpha(m) \in K$ 和乘积在拓扑群 $\hat{L}$ 中收敛。

(b) 设$P$为素数数的集合，并令$c$为整数$\geqslant 1$。让$K = \mathbf{Q}$。证明群 $\hat{L}/\hat{L}_c$ 与群 $F^c = F(X)/C^cF(X)$、cf. § 5、习题 6 的$P$-包络$F_P^c$ 进行识别。

(c) 取$X$为两个元素$\{U, V\}$中的集合。证明有理数数存在两个族$\alpha(m), \beta(m)$，使得

例

(d) 令 $g$ 为具有 Hausdorff 群运算的幂零李 $\mathbf{Q}$ 代数。让$u, v$在$g$中。表明

其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 是上面定义的有理数族（“Hausdorff 公式的逆”）。 （使用连续的同态$\phi : \hat{L} \to g$使得$\phi(U) = u, \phi(V) = v$和注对于Hausdorff群运算来说也是同态。）

(e) 令$G$为无扭可整除幂零群（即$P$-无扭和$P$-可整除）。如果定义了 $u \in G, t \in \mathbf{Q}, u^t$ (§ 4, 习题 16)。如果$u \in G, v \in G$，我们通过上面(d)的公式来定义$u + v$和$[u, v]$。证明 $G$ 因此具有幂零 Lie $\mathbf{Q}$-代数 结构并且相应的 Hausdorff 律是 $G$ 上给定的群运算（当 $G$ 时验证这些断言群$F_P^c$、cf. (b)，并使用$F_P^c$的同态进入$G$，从这里传递到一般情况。

令 $f$ 为 $G$ 的映射成为无扭可整除幂零群 $G'$。证明 $f$ 是 (群) 同态当且仅当它是李代数同态。 （因此，Hausdorff 律定义幂零李$\mathbf{Q}$-代数“范畴”的 同构 到无扭整除幂零群的“范畴”。）