习题 4, § 8

令$c$为整数$\geq 1$，并令$P$为集合，其中素数数包含都是素数数$\leq c$。令 $\mathbf{Z}_P = S_P^{-1}\mathbf{Z}$ (§ 4, 习题 16)。显示 Hausdorff 级数 $H(U, V)$ 属于到 $L_{\mathbf{Z}_P}(\{U, V\})$ 中的次数 $\leq c$ 的项。推出

† 有关此习题的更多详细信息，请参阅 M. Lazard，*Bull。苏克。数学。法国*，91 (1963)，第 435–451 页。

如果$g$是类$\leq c$的幂零李$\mathbf{Z}_p$代数，则合成$(u, v) \mapsto H(u, v)$的律使得$g$成为P-无扭力P-整除幂零群类$\leq c$。证明反过来，每个具有这些性质的群都可以通过这个过程获得。 （使用“豪斯多夫公式的反转”，cf.§ 6，习题4，并显示当$l(m) \leq c$时，属于到$\mathbf{Z}_p$出现的指数$\alpha(m), \beta(m)$。）

特别地，阶$p^n$和类$<p$的每个$p$群都可以通过Hausdorff律从类$<p$的幂零李$\mathbf{Z}$代数获得，其中$p^n$元素。 （取 P 为与 $p$ 不同的素数数的集合。）