习题 3, § 3

令 E 为具有 2 行和 2 个列的对称复数矩阵的复数向量空间。对于所有$s \in \mathbf{SL}(2, \mathbf{C})$，我们通过$\rho(s).m = s.m.s^t$对E进行定义自同构$\rho(s)$。 (a) 证明$\rho$是$\mathbf{SL}(2, \mathbf{C})$的解析线性表示。将$\begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \in E$与$(a, b, c) \in \mathbf{C}^3$识别，$\rho \left( \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix} \right)$的矩阵为

(b) 证明 $m \mapsto \det(m)$ 是非简并二次方形式 在 E 上，$\rho$ 是$\mathbf{SL}(2, \mathbf{C})$ 的态射到$\mathbf{SO}(q)$ 以及核 $\{I, -I\}$。 （对于满射性，观察到，在$\mathbf{SO}(q)$的元素的矩阵中，第一个列可以用形式$(\alpha^2, \alpha\gamma, \gamma^2)$表示，而第3个列可以用形式$(\beta^2, \beta\delta, \delta^2)$表示，其中$\alpha^2\delta^2 + \beta^2\gamma^2 - 2\alpha\gamma\beta\delta = 1$。然后观察$\mathbf{SO}(q)$中的2个元素，其中重合在非各向同性平面上是相等的。） (c) 推论复数李群$\mathbf{SO}(3, \mathbf{C})$与复数李群$\mathbf{SL}(2, \mathbf{C})/\{I, -I\}$同构的。