习题 6, § 3

令 F 为厄米特复数矩阵的向量空间，有 2 行和 2 个列。对于所有 $s \in \mathbf{SL}(2, \mathbf{C})$，我们将 F 的定义自同构 $\sigma(s)$ 乘以 $\sigma(s)(m) = sms^*$。我们将F的认同元素$\begin{pmatrix} t + x & y + iz \\ y - iz & t - x \end{pmatrix}$和$\mathbf{R}^4$的元素$(t, x, y, z)$写成

令C为$(t, x, y, z) \in \mathbf{R}^4$的集合，使得$t^2 - x^2 - y^2 - z^2 > 0,\ t > 0$。令$\mathbf{SO}^+(q)$为$g \in \mathbf{SO}(q)$的集合，使得$g(C) = C$；它是$\mathbf{SO}(q)$ (cf. 习题 4) 中指标 2 的$\mathbf{SO}(q)$ 的开法线子群。证明$\sigma$是$\mathbf{SL}(2, \mathbf{C})$的基础实李群的态射到实李群$\mathbf{SO}^+(q)$和核$\{I, -I\}$。 （对于满射性，使用习题 5。）推导出实李群 $\mathbf{SO}^+(q)$ 与 $\mathbf{SL}(2, \mathbf{C})/\{I, -I\}$ 的底层实李群同构，即 (习题 3) $\mathbf{SO}(3, \mathbf{C})$ 的底层实李群。